2D线性变换

我们可以使用一个 的矩阵乘以一个二维向量，得到一个新的二维向量

通过这种简单的公式可以实现许多实用的变换，包括缩放、切变、旋转、镜像等

缩放

缩放是最简单的变换操作，只需要沿着坐标轴乘以指定的倍数即可，构造一个 的方阵，即：

通过这个矩阵就能将指定坐标缩放至任意倍大小
$$
\begin{gathered}


\end{gathered}
$$
例如，将图片 轴与 轴统一缩小一倍得到：

image-20240827142322852

当 轴 与 轴缩放比例不同时：

image-20240827143018066

切变

切变是一种特殊的平移，即其中一条边平行于坐标轴进行平移（将矩形变为的平行四边形）。随着远离原点，偏移量也会随之增大。水平或垂直切变矩阵：

切变也可以理解成只考虑一个坐标轴的旋转，通过旋转角度的 值来确定 ：

例如，沿着水平方向向右切变 ，构造矩阵：

image-20240827155805160

沿着垂直方向向上切变 也是同理：

image-20240827160041627

旋转

假设，我们要将向量 旋转到向量 的位置，已知向量 与 轴的夹角为 ，向量长度为 ，得到各个点的位置信息：

image-20240827164209478

因为向量 是由向量 旋转角度 得到，所以向量大小不变。使用三角恒等式展开得到：

再通过 与 将公式简化一下：

构造二维线性变换矩阵：

例如，使用将一个图像旋转 ，需要构造矩阵：
$$
\begin{gathered}


\end{gathered}
$$
image-20240827171035618

镜像

将图像以坐标轴为对称轴进行反射，只需要将除对称轴之外的其他坐标全都取相反数即可

image-20240827184405328

复合运算

通常我们会需要对一个图像进行多次变换，例如，先将图像缩放一次，再进行旋转一次

通过乘法结合律，可以将结果合并为：

由此可知，我们能将两个操作合并为一个最终的变换矩阵：

假设，我们需要将一个图像在垂直方向上缩小一倍，然后再旋转 ，计算得出最终的变换矩阵：
$$
\begin{gathered}


\end{gathered}
$$
image-20240827213038031

特别注意：矩阵 的计算顺序是右侧优先，即先计算缩放 ，再计算旋转 。这个顺序非常重要，因为矩阵并不满足交换律，不同的运算顺序会产生不同的结果！！

image-20240827214152373

3D线性变换

3D变换只是在2D的基础上拓展一个 轴，例如，缩放矩阵多一个维度：

3D旋转会比2D复杂得多，但是我们依然可以在2D的基础上加上一个 实现简单的轴对称旋转：

对于 轴与 轴也是相同的做法：

3D切变与2D类似，沿着其中一条轴线平移即可：

任意向量旋转

与2D旋转相同，3D旋转矩阵也是一个正交矩阵，这意味矩阵的三行分别是三个相互正交的单位向量：

假设，三个单位矩阵分别为 和 ，由于相互正交：

若我们将旋转矩阵左乘单位矩阵 ，将得到：

观察结果矩阵，发现其与单位阵之间的关系：
$$
\begin{gathered}
R_{uvw}\textbf{u}=


= \textbf{x}
\end{gathered}
$$
相似的，我们还能得到 ，以及

因为旋转矩阵 是正交矩阵，所以它的逆矩阵就是 ，通过该逆矩阵也能实现反操作
$$
\begin{gathered}
R_{uvw}^T\textbf{y}=


= \textbf{v}
\end{gathered}
对于一个任意向量，我们可以假设该向量位于轴上（即），然后将其旋转到标准坐标系，在对其进行指定的旋转操作，最后再使用逆矩阵将其旋转回坐标系

$$

平移

我们前面都是通过一个矩阵 左乘向量，实现该向量的线性变换，以二维平面为例：

通过这种方式，我们只能够实现缩放和旋转，却无法进行平移操作。其实，想要实现平移操作只需要给每个点增加一个偏移量即可：

单独定义一个这样的平移操作确实可以实现效果，但我们更希望能够与前面一样只使用一个矩阵 进行线性变换，既能实现缩放与旋转，也能兼顾平移操作

这里需要引入齐次坐标的概念，将点 拓展一个维度，写成新的三维向量 ，矩阵 也拓展一个维度：

使用修改过后的三维矩阵，就能够实现二维平面的线性变化（包括缩放、旋转和平移）
$$
\begin{gathered}



\end{gathered}
如果在进行线性变换时，不希望图像产生平移，只需要将向量的拓展维度设置为即可：
\begin{gathered}


\end{gathered}
$$
这样左上角 的矩阵依然会对向量进行缩放或旋转，由于向量拓展维度 的存在将平移的操作忽略了

由于齐次坐标的拓展维度只会是 或 ，我们可以通过该值判断位置坐标或方向向量

在三维空间实现平移操作也是一样的使用齐次坐标，拓展一个维度即可：
$$
\begin{gathered}


\end{gathered}
$$

参考资料

  • 齐次坐标
  • 《Fundamentals of Computer Graphics》 Chapter 6 Transaction Matrices